线性代数第四章复习笔记

线性代数第四章复习笔记

linear algebra

Thu Dec 18 2025
1029 words · 5 minutes
notebook linear algebra

向量与线性方程组

1. 线性方程组有解判定定理

1.1 非齐次线性方程组 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}

设 A∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m \times n}，增广矩阵为 A~=[A∣b]\tilde{A} = [A \mid \mathbf{b}]，则：

  • 无解
    rank(A)≠rank(A~)\text{rank}(A) \ne \text{rank}(\tilde{A})

  • 有唯一解
    rank(A)=rank(A~)=n\text{rank}(A) = \text{rank}(\tilde{A}) = n

  • 有无穷多解
    rank(A)=rank(A~)<n\text{rank}(A) = \text{rank}(\tilde{A}) < n

1.2 齐次线性方程组 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}

设 A∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m \times n}，则：

  • 只有零解（列向量线性无关）
    rank(A)=n⇔列满秩\text{rank}(A) = n \quad \Leftrightarrow \quad \text{列满秩}

  • 有非零解（列向量线性相关）
    rank(A)<n⇔列降秩\text{rank}(A) < n \quad \Leftrightarrow \quad \text{列降秩}

2. 线性方程组解的结构

2.1 齐次方程组 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}

  • 通解（结构解） x=k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r\mathbf{x} = k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2 + \cdots + k_{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r} 其中
    • ξ1,ξ2,…,ξn−r\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \dots, \boldsymbol{\xi}_{n-r} 是 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0} 的一个基础解系；
    • r=rank(A)r = \text{rank}(A)，且 r<nr < n。

2.2 非齐次方程组 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}

  • 通解（结构解） x=k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r⏟导出组通解+η∗\mathbf{x} = \underbrace{k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2 + \cdots + k_{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r}}_{\text{导出组通解}} + \boldsymbol{\eta}^* 其中
    • η∗\boldsymbol{\eta}^* 是 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b} 的任意一个特解；
    • 其余符号含义同上。

2.3 基础解系存在性

若

rank(Am×n)=r<n\text{rank}(A_{m \times n}) = r < n

则齐次方程组 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0} 必存在基础解系，且任意 n−rn-r 个线性无关的解向量即构成一个基础解系。

3. 向量组的线性相关性

设向量组 α1,α2,…,αs∈Rn\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s \in \mathbb{R}^n，记矩阵

A=[α1 α2 … αs]∈Rn×s.A = [\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \dots\ \boldsymbol{\alpha}_s] \in \mathbb{R}^{n \times s}.

3.1 线性相关与线性无关的等价刻画

线性相关线性无关
存在不全为零的常数 k1,k2,…,ksk_1, k_2, \dots, k_s 使得
k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + k_s\boldsymbol{\alpha}_s = \mathbf{0}		若 k1α1+⋯+ksαs=0k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + \dots + k_s\boldsymbol{\alpha}_s = \mathbf{0}，则必有 k1=k2=⋯=ks=0k_1 = k_2 = \dots = k_s = 0
齐次方程组 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0} 有非零解齐次方程组 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0} 只有零解
rank(A)<s\text{rank}(A) < s（列降秩）rank(A)=s\text{rank}(A) = s（列满秩）
向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示向量组中任何向量都不能由其余向量线性表示

3.2 方阵情形（n=sn = s）

若 A∈Rs×sA \in \mathbb{R}^{s \times s} 为方阵，则

α1,…,αs 线性相关  ⟺  det⁡A=0,α1,…,αs 线性无关  ⟺  det⁡A≠0.\boxed{ \begin{aligned} \boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s \text{ 线性相关} &\iff \det A = 0, \\ \boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s \text{ 线性无关} &\iff \det A \ne 0. \end{aligned} }

4. 向量组的线性表示

4.1 单个向量的线性表示

向量 β\boldsymbol{\beta} 可由向量组 {α1,α2,…,αs}\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s\} 线性表出（简称“线表”）

  ⟺  方程组 k1α1+k2α2+⋯+ksαs=β 有解\iff \text{方程组 } k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + k_s\boldsymbol{\alpha}_s = \boldsymbol{\beta} \text{ 有解}   ⟺  rank[α1 … αs]=rank[α1 … αs β]\iff \text{rank}[\boldsymbol{\alpha}_1\ \dots\ \boldsymbol{\alpha}_s] = \text{rank}[\boldsymbol{\alpha}_1\ \dots\ \boldsymbol{\alpha}_s\ \boldsymbol{\beta}]

4.2 向量组之间的线性表示

设

  • 向量组 (I)：α1,…,αr\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_r
  • 向量组 (II)：β1,…,βs\boldsymbol{\beta}_1, \dots, \boldsymbol{\beta}_s
关系等价条件
(I) 可由 (II) 线表rank(II)=rank(II,I)\text{rank}(\text{II}) = \text{rank}(\text{II}, \text{I})
(II) 可由 (I) 线表rank(I)=rank(I,II)\text{rank}(\text{I}) = \text{rank}(\text{I}, \text{II})
(I) 与 (II) 等价（互相线表）rank(I)=rank(II)=rank(I,II)\text{rank}(\text{I}) = \text{rank}(\text{II}) = \text{rank}(\text{I}, \text{II})

5. 向量组的极大无关组与向量组的秩

5.1 极大无关组定义

设向量组 U⊆RnU \subseteq \mathbb{R}^n。
UU 的一个极大线性无关组（极大无关组）是满足以下条件的子集

{α1,α2,…,αr}⊆U:\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_r\} \subseteq U:

  1. 线性无关：

    α1,α2,…,αr 线性无关.\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_r \text{ 线性无关}.

  2. 极大性：

    ∀α∈U, α 可由 α1,…,αr 线性表示.\forall \boldsymbol{\alpha} \in U,\ \boldsymbol{\alpha} \text{ 可由 } \boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_r \text{ 线性表示}.

5.2 向量组的秩

  • 若 U={0}U = \{\mathbf{0}\}，规定

    r(U)=0.r(U) = 0.

  • 否则，定义

    r(U)=极大无关组所含向量的个数.r(U) = \text{极大无关组所含向量的个数}.

  • 若 r(U)=rr(U) = r，则

    U 中任意 r 个线性无关的向量都构成一个极大无关组.\text{U 中任意 } r \text{ 个线性无关的向量都构成一个极大无关组}.

5.3 与矩阵秩的关系

对任意矩阵 A∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m \times n}，有

r(A)=列秩(A)=行秩(A).\boxed{r(A) = \text{列秩}(A) = \text{行秩}(A)}.

6. 几个重要定理

定理 1（唯一表示定理）

若向量组

A={α1,α2,…,αr}A=\{\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_r\}

线性无关，而

B={α1,α2,…,αr,β}B=\{\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_r,\boldsymbol{\beta}\}

线性相关，则

β 可由 A 唯一线性表示.\boldsymbol{\beta}\text{ 可由 }A\text{ 唯一线性表示}.

定理 2（表示与个数）

设

(I) α1,…,αs;(II) β1,…,βr,(\text{I})\ \boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_s;\qquad (\text{II})\ \boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_r,

且 (I) 可由 (II) 线性表示，则

  1. 若 s>rs>r，则 (I) 必线性相关；
  2. 若 (I) 线性无关，则必有 s≤rs\le r.

定理 3（秩的单调性）

若向量组 (I) 可由 (II) 线性表示，则

r(I)≤r(II).r(\text{I})\le r(\text{II}).

特别地，若 (I) 与 (II) 等价，则

r(I)=r(II)(反之不成立).r(\text{I})=r(\text{II})\quad(\text{反之不成立}).

定理 4（矩阵秩的不等式）

对任意适维矩阵

Am×n,  Bn×p,A_{m\times n},\; B_{n\times p},

有

r(AB)≤min⁡{r(A), r(B)}.r(AB)\le\min\{r(A),\,r(B)\}.

对同型矩阵

Am×n,  Bm×n,A_{m\times n},\; B_{m\times n},

有

r(A+B)≤r(A)+r(B).r(A+B)\le r(A)+r(B).

定理 5（Sylvester 秩不等式）

若

Am×nBn×p=O,A_{m\times n}B_{n\times p}=O,

则

r(A)+r(B)≤n.r(A)+r(B)\le n.

注：记 B=[b1,…,bp]B=[\boldsymbol{b}_1,\dots,\boldsymbol{b}_p]，则

AB=O⟹Abj=0, j=1,…,p,AB=O\Longrightarrow A\boldsymbol{b}_j=\mathbf{0},\ j=1,\dots,p,

即 bj\boldsymbol{b}_j 均为齐次方程组 Ax=0A\mathbf{x}=\mathbf{0} 的解。

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© lnscq | CC BY-NC-SA 4.0

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