向量与线性方程组
1. 线性方程组有解判定定理
1.1 非齐次线性方程组 ( A\mathbf{x} = \mathbf{0} )
设 ( A \in \mathbb{R}^{m \times n} )，增广矩阵为 ( \tilde{A} = [A \mid \mathbf{b}] )，则：
无解
有唯一解
有无穷多解
1.2 齐次线性方程组 ( A\mathbf{x} = \mathbf{b} )
设 ( A \in \mathbb{R}^{m \times n} )，则：
只有零解（列向量线性无关）
有非零解（列向量线性相关）
2. 线性方程组解的结构
2.1 齐次方程组 ( A\mathbf{x} = \mathbf{0} )
- 通解（结构解） 其中
- ( \boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}2, \dots, \boldsymbol{\xi}{n-r} ) 是 ( A\mathbf{x} = \mathbf{0} ) 的一个基础解系；
- ( r = \text{rank}(A) )，且 ( r < n )。
2.2 非齐次方程组 ( A\mathbf{x} = \mathbf{b} )
- 通解（结构解） 其中
- ( \boldsymbol{\eta}^* ) 是 ( A\mathbf{x} = \mathbf{b} ) 的任意一个特解；
- 其余符号含义同上。
2.3 基础解系存在性
若
则齐次方程组 ( A\mathbf{x} = \mathbf{0} ) 必存在基础解系，且任意 ( n-r ) 个线性无关的解向量即构成一个基础解系。
3. 向量组的线性相关性
设向量组 ( \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s \in \mathbb{R}^n )，记矩阵
[ A = [\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \dots\ \boldsymbol{\alpha}_s] \in \mathbb{R}^{n \times s}. ]
3.1 线性相关与线性无关的等价刻画
| 线性相关 | 线性无关 |
|---|---|
| 存在不全为零的常数 ( k_1, k_2, \dots, k_s ) 使得 ( k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + k_s\boldsymbol{\alpha}_s = \mathbf{0} ) | 若 ( k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + \dots + k_s\boldsymbol{\alpha}_s = \mathbf{0} )，则必有 ( k_1 = k_2 = \dots = k_s = 0 ) |
| 齐次方程组 ( A\mathbf{x} = \mathbf{0} ) 有非零解 | 齐次方程组 ( A\mathbf{x} = \mathbf{0} ) 只有零解 |
| ( \text{rank}(A) < s )（列降秩） | ( \text{rank}(A) = s )（列满秩） |
| 向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示 | 向量组中任何向量都不能由其余向量线性表示 |
3.2 方阵情形（( n = s )）
若 ( A \in \mathbb{R}^{s \times s} ) 为方阵，则
[ \boxed{ \begin{aligned} \boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s \text{ 线性相关} &\iff \det A = 0, \ \boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s \text{ 线性无关} &\iff \det A \ne 0. \end{aligned} } ]
4. 向量组的线性表示
4.1 单个向量的线性表示
向量 ( \boldsymbol{\beta} ) 可由向量组 ( {\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s} ) 线性表出（简称“线表”）
[ \iff \text{方程组 } k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + k_s\boldsymbol{\alpha}_s = \boldsymbol{\beta} \text{ 有解} ]
[ \iff \text{rank}[\boldsymbol{\alpha}_1\ \dots\ \boldsymbol{\alpha}_s] = \text{rank}[\boldsymbol{\alpha}_1\ \dots\ \boldsymbol{\alpha}_s\ \boldsymbol{\beta}] ]
4.2 向量组之间的线性表示
设
- 向量组 (I)：( \boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_r )
- 向量组 (II)：( \boldsymbol{\beta}_1, \dots, \boldsymbol{\beta}_s )
| 关系 | 等价条件 |
|---|---|
| (I) 可由 (II) 线表 | ( \text{rank}(\text{II}) = \text{rank}(\text{II}, \text{I}) ) |
| (II) 可由 (I) 线表 | ( \text{rank}(\text{I}) = \text{rank}(\text{I}, \text{II}) ) |
| (I) 与 (II) 等价（互相线表） | ( \text{rank}(\text{I}) = \text{rank}(\text{II}) = \text{rank}(\text{I}, \text{II}) ) |
5. 向量组的极大无关组与向量组的秩
5.1 极大无关组定义
设向量组 ( U \subseteq \mathbb{R}^n )。
( U ) 的一个极大线性无关组（极大无关组）是满足以下条件的子集
[ {\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_r} \subseteq U: ]
线性无关：
[ \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_r \text{ 线性无关}. ]极大性：
[ \forall \boldsymbol{\alpha} \in U,\ \boldsymbol{\alpha} \text{ 可由 } \boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_r \text{ 线性表示}. ]
5.2 向量组的秩
若 ( U = {\mathbf{0}} )，规定
[ r(U) = 0. ]否则，定义
[ r(U) = \text{极大无关组所含向量的个数}. ]若 ( r(U) = r )，则
[ \text{U 中任意 } r \text{ 个线性无关的向量都构成一个极大无关组}. ]
5.3 与矩阵秩的关系
对任意矩阵 ( A \in \mathbb{R}^{m \times n} )，有
[ \boxed{r(A) = \text{列秩}(A) = \text{行秩}(A)}. ]
6. 几个重要定理
定理 1（唯一表示定理）
若向量组
[ A={\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_r} ]
线性无关，而
[ B={\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_r,\boldsymbol{\beta}} ]
线性相关，则
[ \boldsymbol{\beta}\text{ 可由 }A\text{ 唯一线性表示}. ]
定理 2（表示与个数）
设
[ (\text{I})\ \boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_s;\qquad (\text{II})\ \boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_r, ]
且 (I) 可由 (II) 线性表示，则
- 若 ( s>r )，则 (I) 必线性相关；
- 若 (I) 线性无关，则必有 ( s\le r ).
定理 3（秩的单调性）
若向量组 (I) 可由 (II) 线性表示，则
[ r(\text{I})\le r(\text{II}). ]
特别地，若 (I) 与 (II) 等价，则
[ r(\text{I})=r(\text{II})\quad(\text{反之不成立}). ]
定理 4（矩阵秩的不等式）
对任意适维矩阵
[ A_{m\times n},; B_{n\times p}, ]
有
[ r(AB)\le\min{r(A),,r(B)}. ]
对同型矩阵
[ A_{m\times n},; B_{m\times n}, ]
有
[ r(A+B)\le r(A)+r(B). ]
定理 5（Sylvester 秩不等式）
若
[ A_{m\times n}B_{n\times p}=O, ]
则
[ r(A)+r(B)\le n. ]
注：记 ( B=[\boldsymbol{b}_1,\dots,\boldsymbol{b}_p] )，则
[ AB=O\Longrightarrow A\boldsymbol{b}_j=\mathbf{0},\ j=1,\dots,p, ]
即 ( \boldsymbol{b}_j ) 均为齐次方程组 ( A\mathbf{x}=\mathbf{0} ) 的解。