1 行列式

1.1 n阶行列式的定义

$n$ 阶行列式是由 $n^2$ 个数，排成 $n$ 行、 $n$ 列的算式

D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + \cdots + a_{1n}A_{1n}

记为 $det(a_{ij})$ ，其中 $A_{1j} = (-1) ^{1 + j}M_{ij}，j = 1,2,...,n$

D_n = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} \cdots a_{nn}

注意到部分上（下）三角行列式有如下性质：

D_n = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}

D_n = \begin{vmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \cdots & a_{2,n-1} & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,n-1} & a_{nn} \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n}a_{2,n-1} \cdots a_{n1}

\begin{vmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_n \end{vmatrix} = d_1d_2 \cdots d_n;

\begin{vmatrix} 0 & \cdots & 0 & d_1 \\ 0 & \cdots & d_2 & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ d_n & \cdots & 0 & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} d_1d_2 \cdots d_n.

1.2 行列式的性质

性质1：行列式与它的转置行列式相等，即 $D^T = D$

性质2：互换行列式任意两行（列）的位置，行列式的值反号

性质3：行列式 $D$ 等于它的任一行（列）各元素分别与其对应的代数余子式的乘积之和

推论1：若行列式 $D$ 的某行元素全为零，则 $D = 0$

性质4：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 $k$ 等于用数 $k$ 乘此行列式

性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式的和

性质6：若行列式有两行（列）对应元素相等，则此行列式为零

推论2：若行列式中有两行（列）成比例，则行列式为零

性质7：行列式的某一行（列）乘以同一数后加到另一行（列），行列式不变

性质8：行列式的任一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零

3 几何向量及其应用

3.3 平面和空间直线

3.3.1 平面方程

平面的点法式方程

M_0 (x_0,y_0,z_0)

法线向量 $\vec{n} = (A, B, C)$ 设平面上任一点为 $M(x,y,z)$ 则有 $\vec{M_0M} \perp \vec{n} \Rightarrow \vec{M_0M} \cdot \vec{n} = 0$ 即 $A(x-x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

点法式

平面的一般式方程

由平面的点法式方程

A(x-x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \\ \Rightarrow Ax + By + Cz - (Ax_0 + By_0 + Cz_0) = 0

其中 $Ax_0 + By_0 + Cz_0 = D$

得到平面的一般式方程:

Ax + By + Cz + D = 0

法向量 $\vec{n} = (A ,B, C)$

一般式方程的几种特殊情况

$Ax + By + Cz + D = 0$

(1) $D = 0$ ，平面通过坐标原点；

(2) $A = 0$ ，

\begin{cases} D = 0，& \text{平面通过x轴；} \\ D \neq 0，& \text{平面平行于x轴；} \end{cases}

类似地可讨论 $B = 0$ ， $C = 0$ 情形。

(3) $A = B = 0$ ，平面平行于 $xoy$ 坐标面（即垂直于 $Z$ 轴）；类似地可讨论 $A = C = 0$ ， $B = C = 0$ 情形。

平面的截距式方程

设平面在x, y, z三轴上分别有截距 $OA = a, OB = b, OC = c$ ，（其中 $a, b, c$ ，均为非零常数，求此平面方程。

设平面为 $Ax + By + Cz + D = 0$ ，

由已知，平面过点 $(a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c)$

有

\begin{cases} aA + D = 0, \\ bB + D = 0, \\ cC + D = 0, \end{cases}

$\Rightarrow A = -\frac{D}{a}, B = -\frac{D}{b}, C = -\frac{D}{c}.$

代入所设方程得

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1（截距式方程）

平面的参数式方程

设平面 $π$ 过点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ ，且已知 $π$ 上两个不共线的向量 $\vec{a} = (L_1, M_1, N_1), \vec{b} = (L_2, M_2, N_2)$ ，求此平面方程。

设平面上任一点为 $P(x, y, z)$

则存在唯一的一组实数 $s, t$ ，使得

\overrightarrow{P_0P} = s\vec{a} + t\vec{b} \quad \text{或} \quad \vec{r} = \vec{r_0} + s\vec{a} + t\vec{b}

\begin{cases} x = x_0 + sL_1 + tL_2 \\ y = y_0 + sM_1 + tM_2 \\ z = z_0 + sN_1 + tN_2 \end{cases}

参数式方程

3.3.2 两平面位置关系

定义： 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角

平面夹角计算

设平面 $\Pi_1$ 和 $\Pi_2$ 的方程分别为：

\Pi_1: A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0, \\ \Pi_2: A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0,

对应的法向量为：

\vec{n}_1 = (A_1, B_1, C_1), \\ \vec{n}_2 = (A_2, B_2, C_2),

平面夹角 $\theta$ 的余弦值为： $\cos\theta = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$

平面位置关系

$\Pi_1 \perp \Pi_2 \Leftrightarrow \vec{n}_1 \perp \vec{n}_2 \Leftrightarrow A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0;$
$\Pi_1 \parallel \Pi_2 \Leftrightarrow \vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2 \Leftrightarrow A_1:B_1:C_1 = A_2:B_2:C_2$

两平面位置关系

$\Pi_1$ 与 $\Pi_2$ 相交 $\Leftrightarrow \vec{n}_1$ 与 $\vec{n}_2$ 不平行 $\Leftrightarrow A_1:B_1:C_1 \neq A_2:B_2:C_2$
$\Pi_1$ 与 $\Pi_2$ 平行而不重合 $\Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}$
$\Pi_1$ 与 $\Pi_2$ 重合 $\Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$

3.3.3 直线方程

直线的对称式方程

过一点且与一已知非零向量平行的直线式唯一确定的

对称式方程

方向向量：与直线平行的非零向量

设 $M_0 =(x_0,y_0,z_0),\vec{s} = (l,m,n),$ $M (x,y,z)$ 为直线上任一点则有

\vec{M_0M} \parallel \vec{s}

即

\frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n}（直线的对称式方程）

直线的参数方程

\frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n}（直线的对称式方程）

令

\frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n} = t

得

\begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \quad 直线的参数方程\\ z = z_0 + nt \end{cases}

直线的一般式方程

一般方程

如果两平面

\Pi_1: A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ \Pi_2: A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0

不平行，则其交线是一条直线: 空间直线的一般式方程

\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}

其方向向量为：

\vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = (A_1,B_1,C_1) \times (A_2,B_2,C_2)

两条直线的位置关系

定义：两直线的方向向量的夹角称为这两条直线的夹角（一般取锐角）。

直线 $L_1 : \frac{x - x_1}{l_1} = \frac{y - y_1}{m_1} = \frac{z - z_1}{n_1}$
直线 $L_2 : \frac{x - x_2}{l_2} = \frac{y - y_2}{m_2} = \frac{z - z_2}{n_2}$

\cos \theta = \frac{| l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 |}{\sqrt{ l_1^2 + m_1^2 + n_1^2 } \cdot \sqrt{ l_2^2 + m_2^2 + n_2^2 }}

特别地：

(1) $L_1 \perp L_2 \iff l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$
(2) $L_1 \parallel L_2 \iff (l_1, m_1, n_1) \parallel (l_2, m_2, n_2)$

两直线的位置关系：

(1) $L_1$ 与 $L_2$ 异面
$\iff$ 三向量 $\overrightarrow{P_1 P_2}, \vec{s}_1, \vec{s}_2$ 不共面。
(2) $L_1$ 与 $L_2$ 相交于一点
$\iff$ 三向量 $\overrightarrow{P_1 P_2}, \vec{s}_1, \vec{s}_2$ 共面，且 $\vec{s}_1 \nparallel \vec{s}_2$ 。
(3) $L_1$ 与 $L_2$ 平行而不重合
$\iff$ $\vec{s}_1 \parallel \vec{s}_2$ ，且 $\overrightarrow{P_1 P_2} \nparallel \vec{s}_1$ 。
(4) $L_1$ 与 $L_2$ 重合
$\iff$ $\vec{s}_1 \parallel \vec{s}_2 \parallel \overrightarrow{P_1 P_2}$ 。

总结： $L_1$ 与 $L_2$ 共面
$\iff$ 三个向量 $\overrightarrow{P_1 P_2}, \vec{s}_1, \vec{s}_2$ 共面

\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \end{vmatrix} = 0

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线性代数期中复习笔记

Tue Oct 14 2025

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